Derivada

La derivada y la recta tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación y=f(x)$y=f(x)$ en el punto (a,f(a))$(a,f(a))$. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ con un punto cercano (x,f(x))$(x,f(x))$, de la gráfica de f$f$. Esta recta recibe el nombre de secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

f(x)−f(a)x−a$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Dicho número suele llamarse cociente incremental de f$f$ en a$a$.

Obsérvese que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto (x,f(x))$(x,f(x))$ esté próximo a (a,f(a))$(a,f(a))$. Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f$f$ en el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

limx→af(x)−f(a)x−a$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

supuesto, claro está, que dicho límite exista.

Al límite anterior se le llama derivada de f$f$ en el punto a$a$ y se denota por f′(a)$f^{\prime }(a)$. También se dice que f$f$ es derivable en x=a$x=a$. La recta tangente a la curva en el punto tendrá pues la siguiente ecuación:

y−f(a)=f′(a)(x−a)$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

Por ejemplo, si queremos hallar la recta tangente a la curva y=x2−3x+1$y=x^2-3x+1$ en el punto x=3$x=3$, hemos de aplicar la ecuación anterior. En este caso (a,f(a))=(3,1)$(a,f(a))=(3,1)$. Ahora calculamos la derivada en x=3$x=3$:

limx→3f(x)−f(3)x−3=limx→3x2−3x+1−1x−3=limx→3x2−3xx−3=limx→3x(x−3)x−3=3$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-3x+1-1}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-3x}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x(x-3)}{x-3}=3$$

Por tanto la recta tangente es:

y−1=3(x−3)⇒y=3x−8$$y-1=3(x-3)\Rightarrow y=3x-8$$

En la siguiente representación con desmos se aprecia con claridad.

De entre todas las rectas que pasan por el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ la recta tangente es la que mejor aproxima a la función en las proximidades de dicho punto, en el sentido de que, si f$f$ es derivable en x=a$x=a$ y llamamos g(x)=f′(a)(x−a)+f(a)$g(x)=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$, entonces g$g$ es la única función que verifica

limx→af(x)−g(x)x−a=0$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0$$

Vamos a formalizar la idea anterior. Las aplicaciones g:R→R$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de la forma

g(x)=mx+m , ∀x∈R$$g(x)=mx+m,\mathrm{\forall }x\in R$$

en que m$m$ y n$n$ son números reales fijos, se suelen llamar funciones afines de R$\mathbb{R}$ en R$\mathbb{R}$ (obsérvese que las funciones afines son aquellas cuya representación gráfica es una línea recta).

Proposición.

Sea f:A→R$f:A\to \mathbb{R}$ una función real de variable real y a∈A$a\in A$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f$f$ es derivable en el punto a$a$.

ii) f$f$ es continua en el punto a$a$ y existe una función afín g$g$ tal que:

limx→af(x)−g(x)x−a=0$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0$$

En caso de que se cumplan i) y ii) la función g$g$ viene dada por

g(x)=f′(a)(x−a)+f(a) , ∀x∈R$$g(x)=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a),\mathrm{\forall }x\in R$$

y como consecuencia g es única.

         Cálculo de una Derivada 

Derivada de una función constante 

         

    En resumen:       

    ¤ “La derivada de una función constante es cero”

Ejemplos:

a)  Si 

b)  Si 

c)  Si 

d)  Si 

     e)  Si 

Derivada de la función identidad 

    Ya hemos deducido antes que     

 ¤ “La derivada de x es 1”

Derivada del producto de una constante por una función

          

           

    En resumen:        

    ¤ “La derivada de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función”

         De momento tan sólo conocemos las funciones derivadas de la función cuadrado, la función identidad y la función raíz cuadrada, por lo que  los ejemplos que ahora pondremos habrán de basarse en dichas funciones. Naturalmente, a medida que “progresemos” en el aprendizaje de las funciones derivadas, los nuevos ejemplos irán ampliándose a los nuevos conocimientos adquiridos.

Ejemplos:

   a)  Si 

   b)  Si    

  

   c)  Si 

       Al llegar a este apartado podemos ya abordar dos “cuestiones” que habían quedado pendientes con anterioridad, debido a que nos faltaban todavía “herramientas” para su resolución.

        Se trata, por una parte, del cálculo de derivadas laterales; y, por otra parte, de comprobar que “continuidad no implica derivabilidad”.

        Tomemos la función valor absoluto de x,  .

        Por definición de valor absoluto de un número real, esta función puede escribirse como una función “definida a trozos”, de la siguiente manera:

       

                    

Por tanto, si queremos hallar su derivada en el punto  nos vemos obligados a estudiar sus derivadas por la izquierda y por la derecha:

       

       

         Estamos, pues, ante una función que en el punto  tiene derivadas laterales distintas. En consecuencia, no es derivable en dicho punto. Y sin embargo es continua en él, como puedes intuir viendo  su gráfica, que es

Se trata, pues, de uno de los contraejemplos, que antes habíamos anun­­ciado, que prueban que no es cierto el recíproco del teorema: “Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto”.

Por otro lado, ese punto , en el que no es derivable, es un “pun­to anguloso” de los que hemos mencionado antes, en el que la gráfica no tendrá tangente, sino semitangentes por la izquierda y por la derecha cu­yas ecuaciones vamos a hallar, teniendo en cuenta que el punto es el :

Semitangente por la izquierda:   

Semitangente por la derecha:   

lo cual, por otro lado, resulta evidente observando la gráfica.

Derivada de una suma de funciones  

        

         

         =

           

En resumen: