Funciones Logarítmicas y exponenciales

Explicación de la integración exponencial








Explicación de Logaritmo natural


Videos Resolviendo Integral definida e indifinida




Resolviendo Integral Definida













Resolviendo Integrales básicas

Propiedades de la integral definida


Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)  donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces    = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces 

Integral definida



Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
gráfica
La integral definida se representa por símbolo integral definida.
 es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
propiedad de la integral definida
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
propiedad
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
propiedad
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
propiedad
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
propiedad

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
función integral
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
gráfica
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Reglas de Derivación

 Derivada de una función constante


         

    En resumen:       

     “La derivada de una función constante es cero”

Ejemplos:
a)  Si 
b)  Si 
c)  Si 
d)  Si 
     e)  Si 



Derivada de una potencia 

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.Derivada de una función potencial

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = xk f'(x)= k · xk−1

Ejemplos

Cálculo de derivadas          Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas         Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas   Cálculo de derivadas

Derivada de un múltiplo constante 







Regla de la suma y diferencia


La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumando, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

cálculo de derivadascálculo de derivadascálculo de derivadascálculo de derivadascálculo de derivadascálculo de derivadas



Derivada de seno y coseno 

La derivada del seno de una función es igual al cosenode la función por la derivada de la función.

Ejemplos

cálculo de derivadascálculo de derivadas
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La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.
Derivada de la función coseno

Ejemplos

cálculo de derivadascálculo de derivadas
cálculo de derivadascálculo de derivadas
cálculo de derivadascálculo de derivadas

Derivada del Producto 



La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de un producto

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es 
igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Derivada del Cociente 

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de un cociente

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de una constante partida por una función

Ejemplos

cálculo de derivadascálculo de derivadas

cálculo de derivadascálculo de derivadascálculo de derivadas


cálculo de derivadas  cálculo de derivadascálculo de derivadas



Funciones Trigonométricas 




Regla de la cadena 


En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en , entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:


donde  indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
Ejemplo:
1. cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
2. cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
3. cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

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