UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA 

 INGENIERÍA EN SISTEMAS  DE LA INFORMACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CALCULO

0904-16-11316   LENIN ALBERTO GOMEZ MARTINEZ 

Cálculo de Límites

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.Dentro de lo que sería el límite de la función, tendríamos que destacar la existencia de una teoría muy importante. Nos estamos refiriendo al teorema del emparedado.Ese teorema tenemos que decir que lo que viene a establecer es que si dos funciones se decantan por el mismo límite en lo que se refiere a un punto concreto, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.Existen tres métodos para calcular el límite de una función, las cuales son:

1. Método numérico, en donde se basa en construir una tabla de valores.
3. Método analítico, en el cual se utiliza el álgebra o cálculo.

2. Método gráfico, se basa en elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico.

Limites que no existen 

Calculo analítico de los Límites

Ejemplos de solución:

||LIMITES INFINITOS||

Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a,      x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – 
x→a 

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – 
x→a 

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – 
x→ 0-
→ lim    1/|x| =                                                x→0 

lim 1/|x| = 
x→a’

 ||LIMITES AL INFINITO||

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

La derivada y la recta tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla determinar.

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación y=f(x)$y=f(x)$ en el punto (a,f(a))$(a,f(a))$. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ con un punto cercano (x,f(x))$(x,f(x))$, de la gráfica de f$f$. Esta recta recibe el nombre de secante (recta que corta a la curva, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

f(x)−f(a)x−a$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Dicho número suele llamarse cociente incremental de f$f$ en a$a$.

Obsérvese que una secante es una buena aproximación de la tangente, siempre que el punto (x,f(x))$(x,f(x))$ esté próximo a (a,f(a))$(a,f(a))$. Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f$f$ en el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite:

limx→af(x)−f(a)x−a$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

supuesto, claro está, que dicho límite exista.

Al límite anterior se le llama derivada de f$f$ en el punto a$a$ y se denota por f′(a)$f^{\prime }(a)$. También se dice que f$f$ es derivable en x=a$x=a$. La recta tangente a la curva en el punto tendrá pues la siguiente ecuación:

y−f(a)=f′(a)(x−a)$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

Por ejemplo, si queremos hallar la recta tangente a la curva y=x2−3x+1$y=x^2-3x+1$ en el punto x=3$x=3$, hemos de aplicar la ecuación anterior. En este caso (a,f(a))=(3,1)$(a,f(a))=(3,1)$. Ahora calculamos la derivada en x=3$x=3$:

limx→3f(x)−f(3)x−3=limx→3x2−3x+1−1x−3=limx→3x2−3xx−3=limx→3x(x−3)x−3=3$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-3x+1-1}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-3x}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x(x-3)}{x-3}=3$$

Por tanto la recta tangente es:

y−1=3(x−3)⇒y=3x−8$$y-1=3(x-3)\Rightarrow y=3x-8$$

En la siguiente representación con desmos se aprecia con claridad.

De entre todas las rectas que pasan por el punto (a,f(a))$(a,f(a))$ la recta tangente es la que mejor aproxima a la función en las proximidades de dicho punto, en el sentido de que, si f$f$ es derivable en x=a$x=a$ y llamamos g(x)=f′(a)(x−a)+f(a)$g(x)=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$, entonces g$g$ es la única función que verifica

limx→af(x)−g(x)x−a=0$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0$$

Vamos a formalizar la idea anterior. Las aplicaciones g:R→R$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de la forma

g(x)=mx+m , ∀x∈R$$g(x)=mx+m,\mathrm{\forall }x\in R$$

en que m$m$ y n$n$ son números reales fijos, se suelen llamar funciones afines de R$\mathbb{R}$ en R$\mathbb{R}$ (obsérvese que las funciones afines son aquellas cuya representación gráfica es una línea recta).

Proposición.

Sea f:A→R$f:A\to \mathbb{R}$ una función real de variable real y a∈A$a\in A$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f$f$ es derivable en el punto a$a$.

ii) f$f$ es continua en el punto a$a$ y existe una función afín g$g$ tal que:

limx→af(x)−g(x)x−a=0$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-g(x)}{x-a}=0$$

En caso de que se cumplan i) y ii) la función g$g$ viene dada por

g(x)=f′(a)(x−a)+f(a) , ∀x∈R$$g(x)=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a),\mathrm{\forall }x\in R$$

y como consecuencia g es única.

         Cálculo de una Derivada 

Derivada de una función constante 

         

    En resumen:       

    ¤ “La derivada de una función constante es cero”

Ejemplos:

a)  Si 

b)  Si 

c)  Si 

d)  Si 

     e)  Si 

Derivada de la función identidad 

    Ya hemos deducido antes que     

 ¤ “La derivada de x es 1”

Derivada del producto de una constante por una función

          

           

    En resumen:        

    ¤ “La derivada de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función”

         De momento tan sólo conocemos las funciones derivadas de la función cuadrado, la función identidad y la función raíz cuadrada, por lo que  los ejemplos que ahora pondremos habrán de basarse en dichas funciones. Naturalmente, a medida que “progresemos” en el aprendizaje de las funciones derivadas, los nuevos ejemplos irán ampliándose a los nuevos conocimientos adquiridos.

Ejemplos:

   a)  Si 

   b)  Si    

  

   c)  Si 

       Al llegar a este apartado podemos ya abordar dos “cuestiones” que habían quedado pendientes con anterioridad, debido a que nos faltaban todavía “herramientas” para su resolución.

        Se trata, por una parte, del cálculo de derivadas laterales; y, por otra parte, de comprobar que “continuidad no implica derivabilidad”.

        Tomemos la función valor absoluto de x,  .

        Por definición de valor absoluto de un número real, esta función puede escribirse como una función “definida a trozos”, de la siguiente manera:

       

                    

Por tanto, si queremos hallar su derivada en el punto  nos vemos obligados a estudiar sus derivadas por la izquierda y por la derecha:

       

       

         Estamos, pues, ante una función que en el punto  tiene derivadas laterales distintas. En consecuencia, no es derivable en dicho punto. Y sin embargo es continua en él, como puedes intuir viendo  su gráfica, que es

Se trata, pues, de uno de los contraejemplos, que antes habíamos anun­­ciado, que prueban que no es cierto el recíproco del teorema: “Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto”.

Por otro lado, ese punto , en el que no es derivable, es un “pun­to anguloso” de los que hemos mencionado antes, en el que la gráfica no tendrá tangente, sino semitangentes por la izquierda y por la derecha cu­yas ecuaciones vamos a hallar, teniendo en cuenta que el punto es el :

Semitangente por la izquierda:   

Semitangente por la derecha:   

lo cual, por otro lado, resulta evidente observando la gráfica.

Derivada de una suma de funciones  

        

         

         =

           

En resumen: