Explicación de la integración exponencial

Explicación de Logaritmo natural

Resolviendo Integral Definida

Resolviendo Integrales básicas

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)  donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces    = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

 Derivada de una función constante

         

    En resumen:       

     “La derivada de una función constante es cero”

Ejemplos:

a)  Si 

b)  Si 

c)  Si 

d)  Si 

     e)  Si 

Derivada de una potencia 

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = x^k f'(x)= k · x^k−1

Ejemplos

          

         

   

Derivada de un múltiplo constante 

Regla de la suma y diferencia

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumando, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

Derivada de seno y coseno 

La derivada del seno de una función es igual al cosenode la función por la derivada de la función.

Ejemplos

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función.

Ejemplos

Derivada del Producto 



La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es 

igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Derivada del Cociente 

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función

Ejemplos

  

Funciones Trigonométricas 

Regla de la cadena 

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si ${\displaystyle f\,}$ es diferenciable en ${\displaystyle x\,}$ y ${\displaystyle g\,}$ es una función diferenciable en ${\displaystyle f(x)\,}$, entonces la función compuesta ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ es diferenciable en ${\displaystyle x\,}$ y

${\displaystyle (g\circ f)'(x)={\frac {d(g\circ f)}{dx}}={\frac {d\;g(f(x))}{dx}}={\frac {d}{dx}}\;g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)}$

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

${\displaystyle {\frac {dg}{dx}}={\frac {dg}{df}}{\frac {df}{dx}}}$

donde ${\displaystyle {\frac {dg}{df}}}$ indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Ejemplo:

1. 

2. 

3.